Praxis — Klausur-Aufgaben

1. 1) Extrema 1D. Finde lokale Extrema von f(x) = x³ - 3x.
   Lösung:f'(x) = 3x² - 3 = 0 → x = ±1. f''(x) = 6x. f''(1) = 6 > 0 → lokales Min. f''(-1) = -6 < 0 → lokales Max.
2. 2) Konvexitätstest. Ist f(x, y) = 3x² + 2xy + y² konvex?
   Lösung:Hesse = [[6,2],[2,2]]. det = 12 - 4 = 8 > 0, Spur = 8 > 0 → positiv definit → konvex.
3. 3) Lagrange. Min x² + y² unter x + y = 1.
   Lösung: ∇f = (2x, 2y), ∇g = (1, 1). Also 2x = λ = 2y → x = y = 1/2. f_min = 1/2.
4. 4) Gradientenschritt. Ein Schritt für f(x,y) = x²+y², Startpunkt (3,4), α = 0.1.
   Lösung: ∇f = (2x, 2y) = (6, 8). x_neu = (3,4) - 0.1·(6,8) = (2.4, 3.2).
5. 5) Lineares Programm. Max x + y unter x ≤ 3, y ≤ 2, x + y ≤ 4, x,y ≥ 0.
   Lösung: Ecken (0,0), (3,0), (3,1), (2,2), (0,2). Werte 0, 3, 4, 4, 2 → Maximum 4 (Strecke (3,1)-(2,2)).
6. 6) Newton-Schritt. f(x) = x⁴ - 4x², 1 Newton-Schritt von x₀ = 2.
   Lösung: f'(x) = 4x³ - 8x, f''(x) = 12x² - 8. f'(2) = 16, f''(2) = 40. x₁ = 2 - 16/40 = 1.6.
7. 7) Sattelpunkt. Klassifiziere kritischen Punkt von f(x,y) = x² - y² in (0,0).
   Lösung: Hesse = [[2, 0], [0, -2]]. Eigenwerte +2 und -2 → indefinit → Sattelpunkt.