Was ist die SVD?
Die Singulärwertzerlegung (Singular Value Decomposition, SVD) ist die mächtigste Matrixzerlegung der linearen Algebra. Sie funktioniert für jedeMatrix (auch nicht-quadratisch, auch singulär) und enthüllt die geometrische Struktur: eine Matrix wird in eine Drehung, eine Skalierung und eine weitere Drehung zerlegt.
Mit SVD lassen sich Daten komprimieren, die wichtigsten Muster extrahieren, Rauschen entfernen, Empfehlungssysteme bauen, Bilder reduzieren — sie ist das Schweizer Taschenmesser der Datenanalyse.
SVD in einem SatzJede Matrix A = UΣVᵀ. U und V sind orthogonale Matrizen (Drehungen / Spiegelungen), Σ eine Diagonalmatrix mit nicht-negativen Einträgen (Skalierung). Drei Schritte: drehen → strecken → drehen.
Wofür braucht man SVD?
- PCA: Hauptkomponentenanalyse für Dimensionsreduktion.
- Bildkompression: wenige Singulärwerte reichen oft.
- Empfehlungssysteme: Netflix-Algorithmen, latente Faktoren.
- Pseudo-Inverse: Lösungen für überbestimmte LGS (Least Squares).
- Numerische Stabilität: Konditionszahl = σ_max / σ_min.