SVD vs. Eigenwertzerlegung
| Aspekt | Eigenwert (A = SDS⁻¹) | SVD (A = UΣVᵀ) |
|---|---|---|
| Welche Matrizen? | nur quadratisch + diagonalisierbar | jede Matrix |
| Werte | Eigenwerte (können negativ/komplex sein) | Singulärwerte (immer ≥ 0) |
| Vektoren | S nicht orthogonal i.A. | U, V orthogonal |
| Beziehung | — | σᵢ² = Eigenwerte von AᵀA |
| Stabilität | kann instabil sein | numerisch stabil |
SVD aus Eigenwerten von AᵀA
- Berechne AᵀA (immer symmetrisch positiv-semidefinit).
- Eigenwerte von AᵀA sind σᵢ². Wurzel ziehen → Singulärwerte σᵢ.
- Eigenvektoren von AᵀA = Spalten von V.
- Spalten von U = (1/σᵢ) · A · vᵢ.
Wichtige Spezialfälle
- A symmetrisch und positiv-definit: Eigenwerte = Singulärwerte, Eigenvektoren = Singulärvektoren.
- A orthogonal: alle σᵢ = 1.
- A diagonal: σᵢ = |Diagonalwert|.
Wann nutzt man was?Eigenwerte: wenn du das langfristige Verhalten oder die „internen Frequenzen" einer dynamischen Matrix verstehen willst.
SVD: wenn du Daten analysieren, komprimieren oder rangmäßig reduzieren willst — und natürlich für nicht-quadratische Datenmatrizen.
SVD: wenn du Daten analysieren, komprimieren oder rangmäßig reduzieren willst — und natürlich für nicht-quadratische Datenmatrizen.