Anwendungen — Bild, ML, Empfehlungen
1. Bildkompression
Ein Graustufenbild = Matrix M. SVD: M = UΣVᵀ. Behalte nur die k größten Singulärwerte: M_k = U_k Σ_k V_kᵀ. Speicher-Bedarf: k(m + n + 1) statt m·n. Bei k = 50 für 1000×1000-Bild: ca. 100k Werte statt 1M — Faktor 10 Kompression bei guter Bildqualität.
2. Empfehlungssysteme — Netflix Prize
Datenmatrix: User × Filme, Einträge = Ratings (viele fehlen). SVD findet latente Faktoren(Genres, Stimmungen) — typische Dimensionen sind 50–200, nicht alle Filme. Vorhersage einer fehlenden Bewertung: rekonstruiere mit reduziertem Rang.
3. Latent Semantic Analysis (NLP)
Term-Dokument-Matrix: Wörter × Dokumente. SVD findet „Themen" als latente Faktoren. Suchanfragen werden im Themenraum mit Dokumenten verglichen — viel besser als reines Schlagwort-Matching.
4. Pseudo-Inverse — Least Squares
Für überbestimmte LGS A·x = b (A nicht quadratisch oder singulär):
A⁺ = V · Σ⁺ · UᵀMit Σ⁺ = Diagonalmatrix mit 1/σᵢ (für σᵢ > 0). Lösung: x = A⁺·b.
Anwendung: Lineare Regression bestimmt Geradenparameter via Pseudo-Inverse.
5. Konditionszahl & numerische Stabilität
κ(A) = σ_max / σ_min. Großes κ → kleine Störungen in b führen zu großen Änderungen in x. Schlecht konditionierte LGS sind numerisch heikel. SVD ist der Standardweg, das zu erkennen.