Aussagenlogik — die Bausteine der Wahrheit
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falschist — kein Drittes. "5 ist Primzahl" ist eine Aussage. "Mathe ist schön" ist keine, denn es gibt kein objektives Wahr/Falsch.
Junktoren verknüpfen Aussagen:
- ¬p — Negation: "nicht p"
- p ∧ q — Konjunktion: "p und q"
- p ∨ q — Disjunktion: "p oder q" (einschließend)
- p → q — Implikation: "wenn p, dann q"
- p ↔ q — Äquivalenz: "p genau dann, wenn q"
Wahrheitstafel
| p | q | ¬p | p ∧ q | p ∨ q | p → q | p ↔ q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| W | W | F | W | W | W | W |
| W | F | F | F | W | F | F |
| F | W | W | F | W | W | F |
| F | F | W | F | F | W | W |
Implikations-Fallep → q ist nur dann falsch, wenn p wahr und q falsch ist. "Aus Falschem folgt alles." Wenn p falsch ist, ist die Implikation immer wahr — egal was q sagt.
Wichtige Äquivalenzen
- De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q und ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- Kontraposition: p → q ≡ ¬q → ¬p
- Implikation auflösen: p → q ≡ ¬p ∨ q
- Doppelte Negation: ¬¬p ≡ p