Kapitel 3 · Theorie

Prädikatenlogik — über Mengen sprechen

Aussagenlogik genügt nicht, sobald wir "für alle" oder "es gibt" sagen wollen. Hier kommen Prädikate und Quantoren ins Spiel.

Prädikat: Eine Aussageform mit Variablen, z. B. P(x): "x ist gerade". Erst durch Einsetzen eines Wertes wird daraus eine Aussage: P(4) ist wahr, P(7) ist falsch.

Quantoren

Symbol	Name	Bedeutung	Beispiel
∀	Allquantor	für alle	∀x ∈ ℕ: x ≥ 0
∃	Existenzquantor	es gibt mindestens ein	∃x ∈ ℕ: x² = 16
∃!	Eindeutigkeit	genau ein	∃!x ∈ ℕ: x + 3 = 7

Negation von Quantoren

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Quantoren-Tausch¬(∀x: P(x)) ≡ ∃x: ¬P(x) — "nicht alle" bedeutet "mindestens einer nicht".
¬(∃x: P(x)) ≡ ∀x: ¬P(x) — "keinen gibt es" bedeutet "für alle gilt nicht".

Reihenfolge zählt

∀x ∃y: y > x — "zu jedem x gibt es ein größeres y" (wahr in ℕ).
∃y ∀x: y > x— "es gibt ein y, das größer als alle x ist" (falsch in ℕ).

Niemals ∀ und ∃ einfach vertauschen. Die Reihenfolge entscheidet, was logisch bedeutet — und macht oft den Unterschied zwischen Wahrheit und Unsinn.