Praxis — Klausur-Aufgaben

1. 1) Wahrheitstafel. Stelle die Wahrheitstafel für (p ∧ q) → r auf. Wann ist die Aussage falsch?
   Lösung: Falsch nur, wenn p ∧ q wahr und r falsch — also p=W, q=W, r=F.
2. 2) De Morgan. Vereinfache ¬(p ∨ ¬q).
   Lösung: ¬(p ∨ ¬q) ≡ ¬p ∧ ¬¬q ≡ ¬p ∧ q.
3. 3) Direkter Beweis. Zeige: Wenn n und m gerade sind, ist n + m gerade.
   Lösung: n = 2a, m = 2b, also n + m = 2(a+b) — gerade. ∎
4. 4) Kontraposition. Beweise: Wenn n² ungerade ist, ist n ungerade.
   Lösung: Kontraposition: Wenn n gerade, ist n² = (2k)² = 4k² gerade. ∎
5. 5) Widerspruch. Beweise: Es gibt unendlich viele Primzahlen (Euklid).
   Lösung: Annahme: nur p₁,...,pₙ. Bilde N = p₁·...·pₙ + 1. N ist durch keine pᵢ teilbar — Widerspruch.
6. 6) Vollständige Induktion. Beweise: 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² für n ≥ 1.
   Lösung: IA: n=1 → 1 = 1². IV: Summe = n². IS: Summe + (2n+1) = n² + 2n + 1 = (n+1)². ∎
7. 7) Quantoren. Negiere "∀x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ: y > x".
   Lösung: ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ ℝ: y ≤ x.