Beweistechniken — drei Wege zum Ziel
Ein Beweis ist eine lückenlose Argumentationskette von der Voraussetzung zur Behauptung. Es gibt drei klassische Strategien.
1. Direkter Beweis
Annahme: p gilt. Schrittweise zeigen, dass daraus q folgt.
Beispiel: Behauptung — Wenn n gerade ist, ist n² gerade.
Beweis: Sei n gerade, also n = 2k. Dann n² = (2k)² = 4k² = 2·(2k²). Also ist n² gerade. ∎
2. Beweis durch Kontraposition
Statt p → q beweise ¬q → ¬p. Beide sind logisch äquivalent.
Beispiel: Wenn n² ungerade ist, ist n ungerade.
Kontraposition: Wenn n gerade ist, ist n² gerade. Das haben wir oben schon bewiesen. ∎
3. Widerspruchsbeweis (Reductio ad absurdum)
Annahme: q gilt nicht. Zeige, dass das zu einem Widerspruch führt — also muss q doch gelten.
Klassiker: √2 ist irrational.
Annahme: √2 = p/q mit p, q teilerfremd. Quadrieren: 2q² = p². Also ist p² gerade, also p gerade, also p = 2m. Einsetzen: 2q² = 4m², also q² = 2m². Also q gerade. Aber dann sind p und q beide durch 2 teilbar — Widerspruch zur Teilerfremdheit. ∎
Welche Technik wann?Direkt — wenn der Weg von p nach q klar erscheint. Kontraposition — wenn ¬q einfacher zu handhaben ist. Widerspruch — wenn die Annahme "das Gegenteil gilt" produktive Strukturen liefert.