Erwartungstreue — keine systematische Schieflage
Definition · Erwartungstreuer Schätzer
Ein Schätzer θ̂ heißt erwartungstreu (unbiased), wenn sein Erwartungswert dem wahren Parameter θ entspricht — egal wie groß die Stichprobe.
E[θ̂] = θ ⇔ Bias[θ̂] = E[θ̂] − θ = 0Beispiel — Mittelwert ist erwartungstreu
x̄ = (x₁ + ... + xₙ) / n. Es gilt E[x̄] = E[(x₁+...+xₙ)/n] = (E[x₁]+...+E[xₙ])/n = n·μ/n = μ. ✓
Klassiker — Stichprobenvarianz mit n vs. n−1
Die naive Varianz mit n im Nenner:
σ̂² = (1/n) · Σ (xᵢ − x̄)²ist nicht erwartungstreu — sie unterschätzt σ² systematisch. Der Faktor zur Korrektur ist n/(n−1):
s² = (1/(n−1)) · Σ (xᵢ − x̄)²s² ist erwartungstreu: E[s²] = σ². Genau deshalb sehen Klausurformeln oft n−1 statt n.
Warum n−1?x̄ wird ja aus den Daten berechnet — du verlierst einen Freiheitsgrad. Geometrisch: die Abweichungen (xᵢ − x̄) summieren sich zwingend zu 0 → eine Information ist „verbraucht". Daher n−1 effektive Freiheitsgrade.