Praxis — Klausur-Aufgaben
Aufgabe 1: Bias berechnen
Ein Schätzer hat E[θ̂] = 2θ + 3. Berechne den Bias und prüfe, ob er erwartungstreu ist.
Lösung
Bias = E[θ̂] − θ = 2θ + 3 − θ = θ + 3. Der Bias hängt von θ ab und ist niemals 0 (außer θ = −3) → nicht erwartungstreu.
Aufgabe 2: MSE-Vergleich
Schätzer A: erwartungstreu, Var = 10. Schätzer B: Bias = 2, Var = 4. Welcher hat kleineren MSE?
Lösung
MSE(A) = 10 + 0 = 10.
MSE(B) = 4 + 4 = 8.
B hat kleineren MSE — obwohl verzerrt, lohnt der Bias durch geringere Varianz.
Aufgabe 3: ML-Schätzer für Bernoulli
x₁, ..., xₙ ~ Bernoulli(π) (also 0 oder 1). Bestimme den MLE für π.
Lösung
Likelihood: L(π) = π^{Σxᵢ} · (1−π)^{n−Σxᵢ}.
Log-Likelihood: ℓ(π) = Σxᵢ · log π + (n − Σxᵢ) · log(1−π).
Ableiten und = 0 setzen → π̂_ML = (1/n) · Σxᵢ = p̂, der relative Anteil.
Aufgabe 4: Konsistenter, aber nicht erwartungstreuer Schätzer
Konstruiere einen Schätzer für μ, der konsistent aber nicht erwartungstreu ist.
Lösung
Beispiel: μ̂ = x̄ + 1/n. Bias = 1/n ≠ 0, aber Bias → 0 für n → ∞ und Var(μ̂) = Var(x̄) → 0. Beides zusammen → konsistent, aber nicht erwartungstreu.
Konsistent: θ̂ → θ in Wahrscheinlichkeit.
Effizient: minimale Varianz.
MLE: maximiert die Wahrscheinlichkeit der Daten.
Faustregel: x̄ für μ, s² mit (n−1) für σ².
Geschafft! Du verstehst jetzt, was einen Schätzer „gut" macht. Im nächsten Kurs „Statistik 2 · Konfidenzintervalle" lernst du, wie man aus einem Punktschätzer ein Intervall macht — die Antwort auf: „wie genau ist meine Schätzung wirklich?"