Konsistenz — wird mit n besser
Definition · Konsistenter Schätzer
Ein Schätzer θ̂ₙ ist konsistent, wenn er mit wachsendem Stichprobenumfang n in Wahrscheinlichkeit gegen θ konvergiert:
∀ε > 0: P(|θ̂ₙ − θ| > ε) → 0 für n → ∞In Worten: je mehr Daten, desto näher liegt deine Schätzung am wahren Wert — mit beliebig hoher Wahrscheinlichkeit.
Beispiel — Mittelwert ist konsistent
Das schwache Gesetz der großen Zahlen sagt direkt: x̄ → μ in Wahrscheinlichkeit. Daher ist x̄ konsistent.
Konsistenz ohne Erwartungstreue?
Ja, möglich! Beispiel:
μ̂ = x̄ + 1/nIst nicht erwartungstreu (Bias = 1/n ≠ 0), aber konsistent (Bias → 0 für n → ∞). Solche „asymptotisch erwartungstreuen" Schätzer sind in der Praxis oft akzeptabel.
Erwartungstreu ≠ KonsistenzEin Schätzer kann erwartungstreu, aber nicht konsistent sein (selten in Lehre): nimm immer nur den 1. Wert der Stichprobe. E[x₁] = μ ✓, aber Varianz schrumpft nicht mit n. Daher: keine Konsistenz.