Krümmung — die zentrale Invariante
Gauss-Krümmung K
Sei p Punkt einer regulären Fläche. K(p) = κ_max · κ_min — Produkt der Hauptkrümmungen.
| Fläche | K | Form |
|---|---|---|
| Ebene | 0 | flach |
| Kugel Radius r | 1/r² | überall positiv |
| Sattel | negativ | hyperbolisch |
| Zylinder | 0 | extrinsisch gekrümmt, intrinsisch flach! |
| Pseudosphäre | -1/r² | konstant negativ |
Theorema Egregium (Gauss)
Die Gauss-Krümmung K hängt nur von der ersten Fundamentalform ab — also von Längenmessungen auf der Fläche. Sie ist eine intrinsische Invariante.
Konsequenz: Die Ameise auf der Kugel kann K bestimmen, ohne die Kugel zu verlassen. Die Ameise auf dem Zylinder denkt, sie sei in der Ebene — und liegt richtig (K = 0).
Geodäten
Geodäten sind die "geraden Linien" auf einer Mannigfaltigkeit — kürzeste Verbindungen lokal. Auf der Kugel: Großkreise. In der Ebene: Geraden.
Einstein-ConnectionAllgemeine Relativitätstheorie: Raumzeit ist gekrümmte 4-dimensionale Mannigfaltigkeit. Materie krümmt sie. Bewegung ohne Kraft = Geodäte. So "fällt" die Erde um die Sonne.