Kurven & Bogenlänge
Parametrisierte Kurve: Eine glatte Abbildung γ: I ⊆ ℝ → ℝⁿ. Die Tangente in t ist γ'(t).
Bogenlänge
L(γ) = ∫_a^b ‖γ'(t)‖ dt
Beispiel — Kreis
γ(t) = (r·cos t, r·sin t), t ∈ [0, 2π]. ‖γ'(t)‖ = r → L = 2πr ✓.
Krümmung einer ebenen Kurve
κ(t) = ‖γ''(t)‖ / ‖γ'(t)‖³ · |x'·y'' - y'·x''| / ((x')² + (y')²)^(3/2)
Anschaulich: Krümmung = Inverses des Krümmungskreis-Radius. Gerade hat κ = 0, Kreis vom Radius r hat κ = 1/r überall.
Bogenlänge-ParameterWenn ‖γ'(s)‖ = 1, ist s die Bogenlänge. Dann ist κ(s) = ‖γ''(s)‖ — viel einfacher. Jede reguläre Kurve kann nach Bogenlänge parametrisiert werden (Theorie).