Mannigfaltigkeiten — lokal wie ℝⁿ
Eine n-dim. Mannigfaltigkeit M ist ein topologischer Raum, der lokal homöomorph zu ℝⁿ ist. Die lokalen Karten (φ: U → ℝⁿ) bilden zusammen einen Atlas.
Beispiele
| Mannigfaltigkeit | Dimension | Karten-Bedarf |
|---|---|---|
| ℝⁿ | n | 1 (selbst) |
| Kreis S¹ | 1 | 2 |
| Sphäre S² | 2 | 2 (Stereographie) |
| Torus T² | 2 | 4 |
| Möbius-Band | 2 | 2 (nicht orientierbar) |
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Wenn die Übergangsabbildungen φᵢ ∘ φⱼ⁻¹ differenzierbar sind, hat man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Damit lassen sich Ableitungen, Vektorfelder, Differentialformen definieren.
Erdkugel-AnalogieKarten der Erde sind 2D-Bilder eines 3D-Objekts. Mehrere Karten überlappen sich. Wo sie sich überlappen, müssen sie konsistent sein. Genau das ist ein Atlas.