1) Bogenlänge. Berechne die Länge der Schraubenlinie γ(t) = (cos t, sin t, t) für t ∈ [0, 2π]. Lösung: γ' = (-sin t, cos t, 1), ‖γ'‖ = √2. L = √2 · 2π = 2π√2.
2) Krümmung Parabel. Berechne κ(0) für y = x². Lösung: γ(t) = (t, t²). γ' = (1, 2t), γ'' = (0, 2). κ(0) = |1·2 - 0·0|/(1+0)^(3/2) = 2.
3) Tangentialebene. Bestimme T_p der Sphäre S² in p = (1, 0, 0). Lösung: Senkrecht zu p, also Ebene span{(0,1,0), (0,0,1)} = yz-Ebene.
4) Gauss-Krümmung. K der Sphäre vom Radius 3? Lösung: K = 1/r² = 1/9 überall.
5) Zylinder vs. Ebene. Lassen sich ein offener Zylinder und ein Stück Ebene isometrisch ineinander abbilden? Lösung: Ja — beide haben K = 0. Ein Zylinder lässt sich aus einem Rechteck rollen.
6) Igelsatz. Erkläre, warum es immer einen Punkt auf der Erde gibt, an dem kein Wind weht. Lösung: Wind = stetiges Tangentialvektorfeld auf S². Igelsatz: muss eine Nullstelle haben.
7) Geodäte. Was ist die kürzeste Verbindung von Hannover (52.4°N, 9.7°O) nach Tokio (35.7°N, 139.7°O)? Lösung: Großkreis durch beide Punkte — geht in Wirklichkeit über Sibirien, weiter nördlich als die Mercator-Karte vermuten lässt.
