Tangentialraum & Vektorfelder
Tangentialraum T_p M: Vektorraum aller Geschwindigkeitsvektoren γ'(0) für Kurven γ durch p ∈ M. Hat dieselbe Dimension wie M.
Beispiel — Sphäre
T_p S² = Ebene durch 0, senkrecht zum Ortsvektor p. Eine Tangentialebene wie auf einer Globus-Oberfläche.
Vektorfelder
Ein Vektorfeld X ist eine glatte Zuordnung p ↦ X_p ∈ T_p M. Es ordnet jedem Punkt einen Tangentialvektor zu.
Beispiele
- Wind auf der Erde — Vektorfeld auf S².
- Igelsatz: Es gibt KEIN nirgends-verschwindendes stetiges Vektorfeld auf S². "Auf jedem Igel gibt es einen Punkt, wo die Stacheln gekämmt aussehen."
- Auf dem Torus T² gibt es solche Vektorfelder — Topologie macht den Unterschied.
Igelsatz-BedeutungTopologie und Geometrie hängen zusammen — über Charakteristiken wie die Euler-Zahl. χ(S²) = 2, χ(T²) = 0. Wenn χ ≠ 0, gibt es keine nicht-verschwindenden Vektorfelder.