DGL erster Ordnung — Trennung der Variablen
Form: y'(x) = f(x) · g(y). Die Variablen lassen sich trennen — alles mit y nach links, alles mit x nach rechts.
Methode in 3 Schritten
- Schreibe y' = dy/dx und trenne: dy/g(y) = f(x) dx
- Integriere beide Seiten: ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx
- Löse nach y auf (wenn möglich) und bestimme C aus Anfangsbedingung.
Beispiel — Wachstum
DGL: y' = k·y mit y(0) = y₀.
Trennen: dy/y = k dx → ln|y| = kx + C → y = C·eᵏˣ → y(x) = y₀ · eᵏˣ.
Exponentielles Wachstumy' = k·y heißt: Die Änderungsrate ist proportional zur Größe. Lösung: y₀·eᵏˣ. Bei k>0 Wachstum, bei k<0 Zerfall (Halbwertszeit ln 2 / |k|).
Beispiel — Newton-Kühlung
T'(t) = -k(T - T_u). Substitution u = T - T_u: u' = -k·u → u(t) = u(0)·e⁻ᵏᵗ → T(t) = T_u + (T₀ - T_u)·e⁻ᵏᵗ.