Lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Form: y'' + a·y' + b·y = 0 (homogen). Lösungsansatz: y = e^(λx).
Charakteristisches Polynom
Einsetzen liefert: λ² + a·λ + b = 0. Die Diskriminante D = a² - 4b entscheidet den Lösungstyp.
| D | Wurzeln | Lösung | Bild |
|---|---|---|---|
| D > 0 | zwei reelle λ₁, λ₂ | y = C₁e^(λ₁x) + C₂e^(λ₂x) | überdämpft |
| D = 0 | doppelte λ | y = (C₁ + C₂x)·e^(λx) | aperiodisch (Grenze) |
| D < 0 | komplex α ± iβ | y = e^(αx)·(C₁cos βx + C₂sin βx) | unterdämpft |
Beispiel — Federpendel
m·x'' + d·x' + k·x = 0. Für d = 0, k = m·ω²: x'' + ω²x = 0 → λ = ±iω → x(t) = A·cos(ωt) + B·sin(ωt).
Schwingungs-TrioÜberdämpft (große Reibung) — kein Schwingen. Unterdämpft (wenig Reibung) — gedämpfte Sinus-Welle. Aperiodisch (genau Grenze) — schnellstmögliche Rückkehr ohne Überschwingen.