Praxis — Klausur-Aufgaben

1. 1) Trennung. Löse y' = -2xy mit y(0) = 3.
   Lösung: dy/y = -2x dx → ln|y| = -x² + C → y = 3·e^(-x²).
2. 2) Linear erster Ordnung. Löse y' + y = x.
   Lösung: μ = eˣ. (eˣ y)' = x·eˣ → eˣy = (x-1)eˣ + C → y = x - 1 + C·e⁻ˣ.
3. 3) Charakteristisches Polynom. Löse y'' - 3y' + 2y = 0.
   Lösung: λ² - 3λ + 2 = 0 → λ = 1, 2 → y = C₁eˣ + C₂e²ˣ.
4. 4) Komplexe Wurzeln. Löse y'' + 2y' + 5y = 0.
   Lösung: λ² + 2λ + 5 = 0 → λ = -1 ± 2i → y = e⁻ˣ(C₁cos 2x + C₂sin 2x).
5. 5) Doppelte Wurzel. Löse y'' + 4y' + 4y = 0.
   Lösung: λ² + 4λ + 4 = (λ+2)² → λ = -2 doppelt → y = (C₁ + C₂x)e⁻²ˣ.
6. 6) Newton-Kühlung. Tasse mit 90°C in 20°C-Raum, k = 0.05/min. Wann 40°C?
   Lösung: T(t) = 20 + 70·e⁻⁰·⁰⁵ᵗ = 40 → e⁻⁰·⁰⁵ᵗ = 20/70 → t = ln(70/20)/0.05 ≈ 25 min.
7. 7) Inhomogen. Löse y'' - y = eˣ.
   Lösung: y_h = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ. Ansatz y_p = A·x·eˣ (Resonanz!) → y_p = (1/2)x·eˣ.