Lineare DGL erster Ordnung
Form: y' + p(x)·y = q(x). Linear in y und y', mit eventuell variablen Koeffizienten.
Lösung — integrierender Faktor
Multipliziere die DGL mit μ(x) = exp(∫ p(x) dx). Dann ist die linke Seite die Ableitung von μ·y:
| Schritt | Ausdruck |
|---|---|
| Faktor | μ = e^(∫p dx) |
| Multiplizieren | (μy)' = μ·q |
| Integrieren | μy = ∫ μq dx + C |
| Auflösen | y = (∫ μq dx + C) / μ |
Beispiel
DGL: y' + 2y = e⁻ˣ. Hier p = 2, also μ = e²ˣ.
(e²ˣ y)' = e²ˣ · e⁻ˣ = eˣ → e²ˣ y = eˣ + C → y = e⁻ˣ + C·e⁻²ˣ.
Homogen vs. inhomogen:
Homogen: q(x) = 0. Lösung: y = C·e⁻∫p dx.
Inhomogen: y = y_homogen + y_partikulär.
Homogen: q(x) = 0. Lösung: y = C·e⁻∫p dx.
Inhomogen: y = y_homogen + y_partikulär.