Systeme & Phasenraum
Ein System hat mehrere unbekannte Funktionen — z. B. x'(t) = f(x, y), y'(t) = g(x, y). Die Lösungskurve im (x, y)-Raum heißt Phasenkurve.
Räuber-Beute (Lotka-Volterra)
Beute x: x' = αx - βxy.
Räuber y: y' = -γy + δxy.
Lösung: oszillierende Phasenkurven — kein Gleichgewicht, sondern zyklische Schwankung.
Lineare Systeme — Eigenwerte
Das System x' = A·x hat Lösungen über die Eigenwerte/Eigenvektoren von A:
| Eigenwerte | Verhalten | Phasenbild |
|---|---|---|
| beide negativ reell | stabiler Knoten | alle Bahnen → Ursprung |
| beide positiv reell | instabiler Knoten | alle Bahnen vom Ursprung weg |
| verschiedene Vorzeichen | Sattelpunkt | Hyperbel-artige Bahnen |
| komplex, Re<0 | stabiler Strudel | Spirale nach innen |
| komplex, Re>0 | instabiler Strudel | Spirale nach außen |
| rein imaginär | Zentrum | geschlossene Ellipsen |