Hilberträume — Geometrie im Unendlichen
Hilbertraum: Banachraum, dessen Norm aus einem Skalarprodukt kommt: ‖x‖² = ⟨x, x⟩.
Mit Skalarprodukt hat man Winkel, Orthogonalität, Projektion — die volle Geometrie der euklidischen Räume, aber im Unendlichen.
Beispiele
- ℓ²: Quadrat-summierbare Folgen mit ⟨x, y⟩ = Σ xᵢȳᵢ.
- L²(Ω): Quadrat-integrable Funktionen mit ⟨f, g⟩ = ∫ f·ḡ.
Orthogonalität & Projektion
x ⊥ y:⇔ ⟨x, y⟩ = 0. Für abgeschlossenen Unterraum M existiert eindeutige Projektion P_M. Der Rest ist orthogonal: x = P_M x + (x - P_M x).
Orthonormalbasis (Hilbert-Basis)
In Hilberträumen gibt es Orthonormalbasen {e_n} mit:
- Fourier-Entwicklung: x = Σ ⟨x, eₙ⟩ · eₙ
- Parseval: ‖x‖² = Σ |⟨x, eₙ⟩|²
- Beispiel L²[-π, π]: {1, cos(nx), sin(nx)} — die klassische Fourierreihe.
Quantenmechanik-ConnectionEin Quantenzustand ist ein Vektor in einem Hilbertraum. Messobservable = selbstadjungierter Operator. Spektrum = mögliche Messwerte. Funktionalanalysis ist die Sprache der QM.