Normierte Räume & Banachräume
Norm: ‖·‖ : V → ℝ≥0 mit ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0, ‖αx‖ = |α|·‖x‖, ‖x+y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖ (Dreieck).
Banachraum: Vollständiger normierter Raum (jede Cauchy-Folge konvergiert).
Wichtige Beispiele
| Raum | Norm | Banach? |
|---|---|---|
| ℝⁿ | ‖x‖ = (Σxᵢ²)^(1/2) | ja |
| ℓᵖ (Folgen) | (Σ|xᵢ|ᵖ)^(1/p), p ≥ 1 | ja |
| C[a,b] | sup |f(x)| | ja |
| Lᵖ(Ω) | (∫|f|ᵖ)^(1/p) | ja |
| C[a,b] mit ‖f‖₁ = ∫|f| | L¹-Norm | nein (nicht vollständig) |
Verschiedene Normen — verschiedene Sichten
- ‖·‖₁ (Manhattan): Summe der Absolutwerte
- ‖·‖₂ (Euklid): Wurzel aus Summe der Quadrate
- ‖·‖∞ (Maximum): max der Komponenten
In endlicher Dimension sind alle Normen äquivalent — sie definieren dieselbe Topologie. In unendlicher Dimension nicht!