Spektrum — Verallgemeinerung der Eigenwerte
Spektrum: σ(T) := {λ ∈ ℂ : T - λI ist nicht invertierbar}. Drei Typen:
| Spektraltyp | Bedeutung |
|---|---|
| Punktspektrum σₚ | T - λI nicht injektiv → λ ist Eigenwert |
| Stetiges Spektrum σ_c | T - λI injektiv, Bild dicht, aber nicht surjektiv |
| Restspektrum σ_r | T - λI injektiv, Bild nicht dicht |
Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren
Sei T: H → H selbstadjungiert (T = T*) auf Hilbertraum H. Dann existiert ein Spektralmaß E mit T = ∫ λ dE(λ). Das Spektrum ist reell.
Im endlich-dimensionalen Fall: Diagonalisierung mit Orthonormalbasis. Im unendlich-dimensionalen Fall: Integral über kontinuierliches Spektrum.
Beispiel — Multiplikationsoperator
T: L²[0, 1] → L²[0, 1], (Tf)(x) = x · f(x). Selbstadjungiert. Spektrum: σ(T) = [0, 1] — keine Eigenwerte, sondern stetiges Spektrum.
Wofür?In QM: Spektrum eines Hamiltonians = mögliche Energiezustände. Im Atomkern: diskrete Energien (Punktspektrum) plus kontinuierliche Streuzustände (stetiges Spektrum).