Praxis — Klausur-Aufgaben

1. 1) Norm-Vergleich. Berechne ‖(3,-4)‖₁, ‖·‖₂, ‖·‖∞.
   Lösung: ‖·‖₁ = 3+4 = 7. ‖·‖₂ = √25 = 5. ‖·‖∞ = max(3, 4) = 4.
2. 2) Cauchy in C[0,1]. Konvergiert fₙ(x) = xⁿ in der Sup-Norm?
   Lösung:Punktweise → 0 für x < 1 und = 1 für x = 1. Sup-Norm bleibt 1, also keine Konvergenz in C[0,1].
3. 3) Skalarprodukt L²[0, 2π]. Berechne ⟨sin x, cos x⟩.
   Lösung: ∫₀^(2π) sin x cos x dx = (1/2) ∫ sin(2x) dx = 0. Also orthogonal.
4. 4) Operatornorm. Bestimme ‖T‖ für T: ℝ² → ℝ², T(x,y) = (x+y, x-y).
   Lösung: T entspricht Matrix [[1,1],[1,-1]]. ‖T‖₂ = größter Singulärwert = √2. Also ‖T‖ = √2.
5. 5) Fourier. Bestimme den ersten Fourier-Koeffizient von f(x) = x auf [-π, π] in der Basis {eⁱⁿˣ/√(2π)}.
   Lösung: a₀ = (1/√(2π)) ∫_(-π)^π x dx = 0 (ungerade).
6. 6) Hilberts Banach. Ist ℓ² ein Hilbertraum? ℓ¹?
   Lösung: ℓ² ja (mit ⟨x,y⟩ = Σxᵢȳᵢ). ℓ¹ nein — Norm kommt nicht aus Skalarprodukt (Parallelogrammgleichung verletzt).
7. 7) Spektrum. Bestimme σ(T) für T: ℓ² → ℓ², T(x₁, x₂, x₃, ...) = (x₁/1, x₂/2, x₃/3, ...).
   Lösung: Eigenwerte 1/n, n ∈ ℕ — Punktspektrum. Plus 0 als Häufungspunkt im Spektrum (kein Eigenwert).