Lineare Operatoren
Eine lineare Abbildung T: X → Y zwischen normierten Räumen heißt beschränkt, wenn ‖T‖ := sup_(‖x‖=1) ‖Tx‖ < ∞.
In endlicher Dimension ist jede lineare Abbildung beschränkt. In unendlicher Dimension nicht! Beschränktheit = Stetigkeit.
Beispiele
| Operator | Beschränkt? | Norm |
|---|---|---|
| Identität I | ja | 1 |
| Multiplikation mit g (auf L²) | ja, wenn g ∈ L^∞ | ‖g‖_∞ |
| Integraloperator (Tf)(x) = ∫ K(x,y)f(y)dy | ja, wenn K ∈ L² | ‖K‖_(L²) |
| Ableitungsoperator d/dx auf C¹ | nein | ∞ |
Drei berühmte Sätze
- Hahn-Banach: Lineare Funktionale können auf den ganzen Raum erweitert werden.
- Banach-Steinhaus: Punktweise beschränkte Familie ⇒ gleichmäßig beschränkt.
- Open Mapping: Surjektiver beschränkter Operator zwischen Banachräumen ist offen.