Darstellungen — Pfeil & Tupel
Definition · Vektor in ℝⁿ
Ein Vektor in ℝⁿ ist ein n-Tupel reeller Zahlen. Wird oft als Spaltenvektor geschrieben:
v = (v₁, v₂, ..., vₙ) ∈ ℝⁿVerschiedene Schreibweisen
- Zeilenform: v = (3, 4)
- Spaltenform: v = ⎛ 3 ⎞⎝ 4 ⎠ (üblich in der LinAlg)
- Mit Pfeil: v⃗ = (3, 4)
- Fett: v = (3, 4)
Geometrische Bedeutung
Ein Vektor (3, 4) zeigt vom Ursprung aus 3 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach oben. Der Pfeil ist nur eine Visualisierung — der Vektor selbst ist das Zahlentupel. Zwei Pfeile mit gleicher Länge und Richtung sind derselbe Vektor, egal wo gezeichnet.
Punkt vs. VektorEin Punkt ist eine Position. Ein Vektor ist eine Verschiebung. Wenn man Punkte als Pfeile vom Ursprung interpretiert, fallen sie zusammen — aber konzeptionell sind sie verschieden.
Spezielle Vektoren
- Nullvektor 0 = (0, 0, ..., 0). Hat keine Richtung, Länge 0.
- Einheitsvektoren: e₁ = (1, 0), e₂ = (0, 1), ... — sie zeigen entlang der Achsen.
- Einheitsvektor von v: v / |v| — gleiche Richtung, Länge 1.