Norm — die Länge eines Vektors
Definition · Euklidische Norm |v|
Die Länge eines Vektors v = (v₁, ..., vₙ) ist:
|v| = √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²)Beispiel
v = (3, 4). |v| = √(9 + 16) = √25 = 5.
Klassisches Pythagoras-Dreieck. Die Norm in 2D ist die Hypotenuse.
EselsbrückeDie Norm ist verallgemeinerter Pythagoras: in 2D √(x²+y²), in 3D √(x²+y²+z²), in nD die Wurzel aus der Summe der Quadrate.Quadrieren, addieren, Wurzel.
Eigenschaften
- Positivität: |v| ≥ 0, mit |v| = 0 ⇔ v = 0.
- Skalierung: |λ·v| = |λ| · |v|.
- Dreiecksungleichung: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Normierung — Einheitsvektor erstellen
ê = v / |v|Der normierte Vektor zeigt in dieselbe Richtung wie v, hat aber Länge 1. Beispiel: v = (3, 4), |v| = 5 → ê = (0.6, 0.8). Check: |ê| = √(0.36 + 0.64) = 1. ✓