Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation
Vektor-Addition (komponentenweise)
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ)Geometrisch: Parallelogramm-Regel oder „Spitze an Schaft".
Beispiel: (3, 1) + (1, 2) = (4, 3).
Skalarmultiplikation
λ · v = (λ·v₁, λ·v₂, ..., λ·vₙ)Geometrisch: streckt (|λ| > 1) oder staucht (|λ| < 1) den Vektor. Negatives λ kehrt die Richtung um.
Beispiel: 2 · (3, 1) = (6, 2). −1 · (3, 1) = (−3, −1).
Subtraktion
a − b = a + (−b) = (a₁ − b₁, a₂ − b₂, ..., aₙ − bₙ)Geometrisch: Pfeil von der Spitze von b zur Spitze von a.
Rechenregeln
| Regel | Formel |
|---|---|
| Kommutativität | a + b = b + a |
| Assoziativität | (a + b) + c = a + (b + c) |
| Distributivität (Skalar) | λ · (a + b) = λ·a + λ·b |
| Distributivität (Vektor) | (λ + μ) · a = λ·a + μ·a |
| Neutrales Element | a + 0 = a |
| Inverses | a + (−a) = 0 |
Wichtig: Alles komponentenweiseVektor-Operationen sind einfach: jede Komponente wird einzeln verarbeitet. Es gibt KEINE „Vektor-Multiplikation" im klassischen Sinne — stattdessen Skalarprodukt (Kapitel 8) oder Kreuzprodukt.