Linearkombinationen
Definition · Linearkombination
Aus Vektoren v₁, ..., vₖ und Skalaren λ₁, ..., λₖ entsteht:
λ₁·v₁ + λ₂·v₂ + ... + λₖ·vₖDas ist eine Linearkombination der Vektoren.
Beispiel
v₁ = (1, 0), v₂ = (0, 1). Mit λ₁ = 3, λ₂ = 4:
3·(1, 0) + 4·(0, 1) = (3, 0) + (0, 4) = (3, 4).
Wichtige IdeeAus den Einheitsvektoren e₁ = (1,0), e₂ = (0,1) lässt sich jederVektor in ℝ² als Linearkombination bauen: (a, b) = a·e₁ + b·e₂. Sie spannen den Raum auf — Vorgriff auf Kapitel „Basis".
Span — die Menge aller Linearkombinationen
Der Span einer Menge von Vektoren ist die Menge aller ihrer Linearkombinationen:
span(v₁, ..., vₖ) = { λ₁·v₁ + ... + λₖ·vₖ | λᵢ ∈ ℝ }- span(v) für einzelnen Vektor: Gerade durch den Ursprung in Richtung v.
- span(u, v) für 2 nicht-parallele Vektoren: die ganze Ebene.
- span(u, v, w) für 3 unabhängige Vektoren in ℝ³: der ganze ℝ³.