Praxis — Anwendungen & Klausur
Anwendung 1: Physik — Kraftparallelogramm
Zwei Personen ziehen ein Floß. Person A zieht mit Kraft F₁ = (50, 0) N (nach Osten), Person B mit F₂ = (0, 30) N (nach Norden). Was ist die resultierende Kraft?
Lösung
F = F₁ + F₂ = (50, 30) N. Betrag: |F| = √(2500 + 900) = √3400 ≈ 58.3 N. Richtung: arctan(30/50) ≈ 31° vom Osten (nordöstlich).
Anwendung 2: Computer-Grafik — Position aktualisieren
Spielfigur an Position p = (10, 5). Pro Frame Geschwindigkeit v = (2, 1). Wo ist sie nach 4 Frames?
Lösung
p_neu = p + 4·v = (10, 5) + 4·(2, 1) = (10, 5) + (8, 4) = (18, 9).
Aufgabe: Klausur-Klassiker
- Bestimme |v| für v = (1, 2, 2).
Lösung
|v| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3. Auch ein „Magic Norm"-Tripel. - Sind a = (2, 4) und b = (1, 2) linear abhängig?
Lösung
Ja: a = 2·b. Der eine ist ein skalares Vielfaches des anderen → linear abhängig. - Schreibe (5, 3) als Linearkombination von (1, 1) und (1, −1).
Lösung
Ansatz: (5, 3) = λ·(1, 1) + μ·(1, −1) → λ + μ = 5 und λ − μ = 3 → λ = 4, μ = 1.
Probe: 4·(1,1) + 1·(1,−1) = (4,4) + (1,−1) = (5, 3). ✓
MerksatzVektor = Tupel mit Richtung + Länge.
Operationen komponentenweise: Addition, Skalarmult.
Norm |v| = √(Σvᵢ²) (verallg. Pythagoras).
Linearkombination = Summe von skalaren Vielfachen.
Operationen komponentenweise: Addition, Skalarmult.
Norm |v| = √(Σvᵢ²) (verallg. Pythagoras).
Linearkombination = Summe von skalaren Vielfachen.
Geschafft! Im nächsten Kurs „LinAlg 2 · Matrizen"siehst du, wie man mehrere Vektoren in einem Objekt zusammenfasst — und wie sie als „Funktionen auf Vektoren" wirken.