Matrix-Multiplikation
Achtung: Matrix-Multiplikation ist nicht komponentenweise! Es ist die wichtigste — und am häufigsten missverstandene — Operation der LinAlg.
Definition · Matrix-Multiplikation
A ∈ ℝᵐˣᵏ, B ∈ ℝᵏˣⁿ → A · B ∈ ℝᵐˣⁿ. Eintrag (i,j) = Skalarprodukt von Zeile i (von A) mit Spalte j (von B):
(A · B)ᵢⱼ = Σₗ aᵢₗ · bₗⱼGoldene Regel: „Innen muss passen"Bei A (m × k) · B (k × n): die inneren Dimensionen (k und k) müssen übereinstimmen. Das Ergebnis hat die äußeren Dimensionen (m × n).Zeile von A trifft Spalte von B.
Beispiel · 2×2 mal 2×2
⎛ 1 2 ⎞ · ⎛ 5 6 ⎞ = ⎛ 1·5+2·7 1·6+2·8 ⎞ = ⎛ 19 22 ⎞
⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 7 8 ⎠ ⎝ 3·5+4·7 3·6+4·8 ⎠ ⎝ 43 50 ⎠
Eigenschaften — was gilt, was nicht
| Eigenschaft | Gilt? | Bemerkung |
|---|---|---|
| Assoziativ | ✓ | (AB)C = A(BC) |
| Distributiv | ✓ | A(B+C) = AB + AC |
| Identitätsmatrix | ✓ | A · I = I · A = A |
| Kommutativ | ✗ | im Allg. ist AB ≠ BA |
| Nullteilerfrei | ✗ | AB = 0 zwingt nicht A=0 oder B=0 |
Wichtig · Nicht-Kommutativität
Es gilt im Allgemeinen AB ≠ BA! Beispiel: A = (0,1; 0,0), B = (0,0; 1,0). AB = (1,0; 0,0), BA = (0,0; 0,1). Komplett verschieden.
Matrix mal Vektor
Spezialfall: B ist ein Spaltenvektor (n × 1). A · v gibt einen neuen Vektor zurück. So lassen sich lineare Abbildungen darstellen — kommt in Kapitel „Lineare Abbildungen".
(A · v)ᵢ = Σⱼ aᵢⱼ · vⱼ