Spezielle Matrizen
Identitätsmatrix Iₙ
Quadratische Matrix mit 1en auf der Hauptdiagonale, 0 sonst. Wirkt als „1" für die Matrixmultiplikation.
A · Iₙ = Iₙ · A = AI₃ = ⎛ 1 0 0 ⎞ I₂ = ⎛ 1 0 ⎞
⎜ 0 1 0 ⎟ ⎝ 0 1 ⎠
⎝ 0 0 1 ⎠
Diagonalmatrix
Nur Einträge auf der Hauptdiagonale, alle anderen 0. Multiplikation mit Diagonalmatrix = elementweises Skalieren der Vektor-Komponenten.
Nullmatrix 0
Alle Einträge 0. Es gilt A + 0 = A und A · 0 = 0.
Symmetrische Matrix
Quadratisch mit A = Aᵀ, d.h. aᵢⱼ = aⱼᵢ. Symmetrisch gespiegelt an der Diagonale.
Transponierte Aᵀ
Spiegele die Matrix an der Hauptdiagonale: Zeilen werden Spalten.
(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢA = ⎛ 1 2 3 ⎞ → Aᵀ = ⎛ 1 4 ⎞
⎝ 4 5 6 ⎠ ⎜ 2 5 ⎟
⎝ 3 6 ⎠
Inverse A⁻¹
Falls existent (nur für quadratische Matrizen mit det A ≠ 0): A · A⁻¹ = I. Wir behandeln sie ausführlich in Kurs „Determinante".
Wichtige Identitäten(Aᵀ)ᵀ = A. (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. (A · B)ᵀ = Bᵀ · Aᵀ. (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹. Bei Transposition von Produkten: Reihenfolge umdrehen!