Praxis — Datenanalyse & Klausur

Anwendung 1: Daten als Matrix

Eine Klausur von 4 Studenten in 3 Fächern (Mathe, Englisch, Physik). Datenmatrix X ∈ ℝ⁴ˣ³:

X = ⎛ 80 70 90 ⎞   (Anna)
    ⎜ 60 85 75 ⎟   (Bjorn)
    ⎜ 95 90 80 ⎟   (Clara)
    ⎝ 70 65 85 ⎠   (David)

Zeile = Person, Spalte = Fach. Mittelwert-Vektor pro Fach = Spalten-Mittelwerte. So speichern Pandas-DataFrames, NumPy-Arrays und Excel-Tabellen Daten — als Matrix.

Anwendung 2: Bild = Matrix

Ein Graustufen-Bild 1080×1920 ist eine 1080×1920 Matrix mit Pixel-Helligkeiten 0–255. Ein Farbbild = drei solche Matrizen (R, G, B) übereinander gestapelt = Tensor. Filter, Schärfen, Kanten-Detektion = Matrix-Operationen.

Aufgabe: Klausur-Klassiker

1. A = ((1,2),(3,4)), berechne A².
   Lösung

   A² = ((1·1+2·3, 1·2+2·4),(3·1+4·3, 3·2+4·4)) = ((7,10),(15,22)).
2. Stimmt es: AᵀA ist immer symmetrisch?
   Lösung

   Ja: (AᵀA)ᵀ = Aᵀ(Aᵀ)ᵀ = AᵀA. Also symmetrisch — egal welches A.
3. A = ((2,0),(0,3)), v = (5,4). Berechne A·v.
   Lösung

   A·v = (2·5+0·4, 0·5+3·4) = (10, 12). Diagonalmatrix skaliert die Komponenten.
4. Berechne det((1,2),(3,4)) — geschickt mit Sarrus oder direkt.
   Lösung

   det = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2. Kommt im nächsten Kurs ausführlich.

Geschafft! Im nächsten Kurs „LinAlg 3 · LGS" nutzen wir Matrizen, um lineare Gleichungssysteme zu lösen — der Gauß-Algorithmus wartet.