Was ist ein lineares Gleichungssystem?
Klassiker: Du kaufst 2 Brötchen und 3 Kaffees für 9 €. Beim nächsten Mal 4 Brötchen und 1 Kaffee für 7 €. Was kostet ein Brötchen, was ein Kaffee? Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte — ein lineares Gleichungssystem (LGS).
Ein LGS ist eine Sammlung von Gleichungen, in denen die Unbekannten nur in 1. Potenz auftreten (nicht x², nicht √x). LGS lösen ist die wichtigste numerische Aufgabe der linearen Algebra — sie taucht überall auf: Statistik (Regression), Physik (Kräftegleichgewicht), Wirtschaft (Optimierung), Computer-Grafik (Schnitte), Machine Learning (Training).
LGS — drei SichtweisenAlgebraisch: System von Gleichungen.
Geometrisch: Schnittmenge von Geraden, Ebenen, Hyperebenen.
Matrix: A·x = b — eine Matrixgleichung.
Geometrisch: Schnittmenge von Geraden, Ebenen, Hyperebenen.
Matrix: A·x = b — eine Matrixgleichung.
Beispiel · Brötchen-Kaffee
2x + 3y = 9
4x + 1y = 7
Lösung: x = 1.20 €, y = 2.20 €. Wie man systematisch dahin kommt — kommt in Kapitel 4.