Praxis — Mischungen & Klausur
Anwendung 1: Chemie · Mischungsproblem
Du brauchst 100 ml einer 30 % Säurelösung. Du hast eine 10 % und eine 50 % Lösung. Wie viel von jeder?
Aufstellen + Lösung
Sei x = ml der 10%-Lösung, y = ml der 50%-Lösung.
x + y = 100
0.1x + 0.5y = 30
Aus Zeile 1: y = 100 − x. Einsetzen: 0.1x + 0.5(100 − x) = 30 → 0.1x + 50 − 0.5x = 30 → −0.4x = −20 → x = 50, y = 50.
Anwendung 2: Physik · Kräftegleichgewicht
Drei Seile spannen einen Knoten. F₁ = (1, 2) N, F₂ = (a, b) N, F₃ = (3, −1) N. Damit der Knoten in Ruhe ist, muss F₁ + F₂ + F₃ = 0. Was ist (a, b)?
Lösung
1 + a + 3 = 0 → a = −4. 2 + b − 1 = 0 → b = −1. Also F₂ = (−4, −1).
Aufgabe: Klausur-Klassiker
- Bringe in Stufenform: x + 2y = 5, 3x − y = 1.
Lösung
R₂ −= 3R₁: x + 2y = 5, 0 − 7y = −14 → y = 2, x = 1. - Wann hat A·x = 0 nur die triviale Lösung x = 0?
Lösung
Wenn A invertierbar ist (det A ≠ 0). Sonst gibt es eine nicht-triviale Lösung — x liegt im „Kern" von A (kommt in Kurs Lineare Abbildungen). - Erkläre: warum ist x + y = 4, 2x + 2y = 9 unlösbar?
Lösung
Multipliziere Zeile 1 mit 2: 2x + 2y = 8. Aber Zeile 2 sagt 2x + 2y = 9. Widerspruch: 8 ≠ 9. Geometrisch: parallele, nicht identische Geraden.
MerksatzLGS: A·x = b lösen.
Gauß: Zeilenumformungen → Stufenform → Rückwärtssubst.
Drei Lösungstypen: 1, 0, ∞ — entscheidet Determinante + b.
RREF: Lösung direkt ablesbar, eindeutig.
Gauß: Zeilenumformungen → Stufenform → Rückwärtssubst.
Drei Lösungstypen: 1, 0, ∞ — entscheidet Determinante + b.
RREF: Lösung direkt ablesbar, eindeutig.
Geschafft! Im nächsten Kurs „LinAlg 4 · Determinante" verstehen wir die Zahl, die alles über Lösbarkeit und Geometrie verrät.