Gauß-Algorithmus
Der Gauß-Algorithmus ist das Standardverfahren zum Lösen von LGS: durch geschickte Zeilenumformungen wird die erweiterte Koeffizientenmatrix in Stufenform gebracht — danach lässt sich die Lösung Schritt für Schritt ablesen.
Erlaubte Zeilenumformungen
- Zwei Zeilen vertauschen
- Eine Zeile mit einem Skalar (≠ 0) multiplizieren
- Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren
Diese Umformungen verändern die Lösungsmenge nicht!
Schritt-für-Schritt · Beispiel
2x + 3y = 9, 4x + y = 7:
Start: ⎛ 2 3 │ 9 ⎞
⎝ 4 1 │ 7 ⎠
R₂ −= 2·R₁: ⎛ 2 3 │ 9 ⎞
⎝ 0 −5 │ −11 ⎠
Aus Zeile 2: −5y = −11 → y = 2.2. Einsetzen in Zeile 1: 2x + 3·2.2 = 9 → 2x = 2.4 → x = 1.2.
Strategie
- Pivot wählen (oben links).
- Spalte räumen: andere Einträge in dieser Spalte mit Zeilenoperationen auf 0.
- Nächste Spalte rechts daneben, eine Zeile tiefer — wiederhole.
- Am Ende Stufenform: jede Zeile beginnt weiter rechts als die vorherige.
- Rückwärtssubstitution: von unten nach oben einsetzen.
Tipp · Pivot-WahlWähle möglichst eine 1 oder die größte Zahl als Pivot — vermeidet Brüche und numerische Fehler. Wenn Pivot = 0, vertausche Zeilen.