Gauß-Jordan & reduzierte Stufenform
Reduzierte Zeilenstufenform (RREF)
Der Gauß-Jordan-Algorithmus geht über die Stufenform hinaus:
- Jeder Pivot ist 1.
- In jeder Pivot-Spalte sind alle anderen Einträge 0 (auch oberhalb).
Beispiel
2x + 3y = 9, 4x + y = 7:
Stufenform: ⎛ 2 3 │ 9 ⎞
⎝ 0 −5 │ −11 ⎠
R₁ /= 2: ⎛ 1 1.5 │ 4.5 ⎞
R₂ /= −5: ⎝ 0 1 │ 2.2 ⎠
R₁ −= 1.5·R₂: ⎛ 1 0 │ 1.2 ⎞
⎝ 0 1 │ 2.2 ⎠
RREF lesbar als x = 1.2, y = 2.2 — direkt!
Vorteil RREFKeine Rückwärtssubstitution nötig — Lösung steht direkt rechts. Außerdem: RREF ist eindeutig pro Matrix → sehr nützlich zum Vergleichen, für Inversen-Berechnung, Rang-Bestimmung (kommt später).
Anwendung: Inverse berechnen
Schreibe (A | I), wende Gauß-Jordan an, bis (I | B). Dann ist B = A⁻¹. Dieses Verfahren funktioniert nur, wenn A invertierbar ist (det A ≠ 0).