Drei Lösungstypen
Ein LGS hat genau einen der folgenden Lösungstypen:
- Genau eine Lösung (eindeutig)
- Unendlich viele Lösungen (Lösungsschar mit freien Parametern)
- Keine Lösung (System ist widersprüchlich)
Visuell in 2D — zwei Geraden
| Geometrie | Lösungstyp | det A |
|---|---|---|
| Geraden schneiden sich | 1 Lösung | ≠ 0 |
| Geraden sind parallel, nicht identisch | keine | = 0 |
| Geraden sind identisch | ∞ viele | = 0 |
Determinante als IndikatorBei quadratischer Koeffizientenmatrix A: det A ≠ 0 ⇒ eindeutige Lösung. Bei det A = 0: entweder unendlich viele oder keine — das hängt von b ab. Mehr dazu in Kurs „Determinante".
Beispiele
Eindeutig: x + y = 4 und x − y = 0 → x = 2, y = 2.
Unendlich: x + y = 4 und 2x + 2y = 8 → identische Gleichungen.
Keine: x + y = 4 und x + y = 5 → Widerspruch (parallel).