Was ist ein Vektorraum?
Bisher waren Vektoren Pfeile in ℝ² oder ℝ³. Jetzt der Abstraktions-Sprung: Ein Vektorraum ist jede Menge V, in der man „addieren" und „mit Skalaren multiplizieren" kann — solange dabei bestimmte Regeln gelten. Auch Polynome, Funktionen, Matrizen können Vektoren sein!
Diese Idee ist der Kern der linearen Algebra. Wenn man die Axiome kennt, lassen sich alle Sätze (Basis, Dimension, lineare Abbildungen, ...) einmal beweisen — und gelten dann für jeden Vektorraum.
Wichtige Einsicht„Vektor" heißt in der LinAlg nicht automatisch „Pfeil mit Richtung". Es heißt:Element eines Vektorraums. Funktionen sind Vektoren. Matrizen sind Vektoren. Polynome sind Vektoren — sobald sie die Axiome erfüllen.
Was braucht ein Vektorraum?
- Eine Menge V (die „Vektoren")
- Einen Körper K (meist ℝ oder ℂ — die „Skalare")
- Eine Addition + : V × V → V
- Eine Skalarmultiplikation · : K × V → V
- 8 Axiome, die diese Operationen erfüllen