Unterräume
Definition · Unterraum
Eine Teilmenge U ⊆ V eines Vektorraums V heißt Unterraum, wenn U selbst ein Vektorraum ist (mit derselben Addition und Skalarmal).
Unterraumkriterium · die einfache Variante
U ⊆ V ist Unterraum genau dann, wenn:
- 0 ∈ U (enthält Nullvektor)
- u, v ∈ U ⇒ u + v ∈ U (abgeschlossen unter Addition)
- u ∈ U, λ ∈ K ⇒ λu ∈ U (abgeschlossen unter Skalarmal)
Wenn diese drei Punkte stimmen, gelten alle 8 Axiome automatisch in U.
Beispiele in ℝ²
| Menge | Unterraum? | Grund |
|---|---|---|
| {(x, y) : y = 2x} | ✓ | Gerade durch Ursprung |
| {(x, y) : x ≥ 0} | ✗ | Skalarmal mit −1 verlässt die Menge |
| {(x, y) : y = 2x + 1} | ✗ | 0 nicht enthalten |
| {(0, 0)} | ✓ | Trivialer Unterraum |
| ℝ² selbst | ✓ | Trivialer Unterraum |
Unterräume von ℝ²
- Nur drei Sorten: {0}, Geraden durch 0, ganz ℝ².
Unterräume von ℝ³
- Vier Sorten: {0}, Geraden durch 0, Ebenen durch 0, ganz ℝ³.
Schneller TestEnthält die Menge den Nullvektor? Wenn nein → kein Unterraum. Sonst: prüfe Add + Skalarmal. Affine Geraden/Ebenen, die nicht durch 0 gehen, sind nie Unterräume.