Praxis — abstrakte Räume & Klausur

Anwendung 1: Polynome als Vektoren

ℝ₂[x] = {a + bx + cx² : a, b, c ∈ ℝ} ist ein 3-dim Vektorraum mit Basis 1, x, x². Ein Polynom 2 + 3x − x² entspricht dem „Koordinatenvektor" (2, 3, −1) in dieser Basis. So lassen sich Polynom-Operationen als Vektor-Operationen rechnen.

Anwendung 2: Lineare Differentialgleichungen

Die Lösungsmenge der DGL y'' + y = 0 ist ein 2-dim Vektorraum mit Basis sin(x), cos(x). Jede Lösung: y(x) = A·sin(x) + B·cos(x). Eine Linearkombination! LinAlg = Werkzeug für Analysis.

Aufgabe: Klausur-Klassiker

1. Ist {(x, y, z) : x + y + z = 0} ein Unterraum von ℝ³?
   Lösung

   Ja. (0,0,0) erfüllt 0+0+0=0. Summe zweier Lösungen: (x₁+y₁+z₁) + (x₂+y₂+z₂) = 0+0 = 0. ✓ Skalarmal: λ·(x+y+z) = λ·0 = 0. ✓ Unterraum-Axiome erfüllt.
2. Ist {(x, y) : x² + y² ≤ 1} (Einheitskreis-Scheibe) ein Unterraum?
   Lösung

   Nein. (1, 0) ist drin, aber 2·(1, 0) = (2, 0) hat Länge 2 → nicht abgeschlossen unter Skalarmal.
3. Welche Dimension hat span((1,0,1), (0,1,1), (1,1,2)) ⊆ ℝ³?
   Lösung

   (1,1,2) = (1,0,1) + (0,1,1). Linear abhängig — span ist nur 2-dim (eine Ebene).

Geschafft! Im nächsten Kurs „LinAlg 6 · Basis & Rang" präzisieren wir das Konzept „minimales Erzeugendensystem" — die Basis, das Rückgrat jedes Vektorraums.