Span & Erzeugendensystem
Definition · Span
Sei v₁, ..., vₖ ∈ V. Der Span (oder lineare Hülle) ist:
span(v₁, ..., vₖ) = { λ₁v₁ + ... + λₖvₖ | λᵢ ∈ K }Das ist immer ein Unterraum von V.
Erzeugendensystem
Eine Menge {v₁, ..., vₖ} heißt Erzeugendensystem von V, wenn span(v₁, ..., vₖ) = V.
Beispiele
- e₁, e₂ erzeugen ℝ²: jeder Vektor (a, b) = a·e₁ + b·e₂.
- (1,1), (1,−1) erzeugen ℝ²: auch ein Erzeugendensystem (zwei nicht-parallele Vektoren).
- (1,1), (2,2) erzeugen NUR span((1,1)): beide kollinear → erzeugen nur eine Gerade, nicht ℝ².
- 1, x, x² erzeugen ℝ₂[x]: jedes Polynom vom Grad ≤ 2.
WichtigEin Erzeugendensystem kann zu groß sein (mit redundanten Vektoren). Ein minimales Erzeugendensystem heißt Basis — kommt im nächsten Kurs.
Endlich-dimensional vs. unendlich-dimensional
- Wenn V ein endliches Erzeugendensystem hat → V heißt endlich-dimensional. Z.B. ℝⁿ, ℝₙ[x], ℝᵐˣⁿ.
- Sonst unendlich-dimensional. Z.B. alle Polynome ℝ[x], alle stetigen Funktionen.