Beispiele — mehr als nur ℝⁿ

1. Standard-Beispiel: ℝⁿ

Die Menge aller n-Tupel reeller Zahlen mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.

2. Polynome — ℝ[x] und ℝₙ[x]

Die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten ist ein Vektorraum: (3x² + 2x + 1) + (x² − x) = 4x² + x + 1. Skalarmal: 2·(3x² + 2x + 1) = 6x² + 4x + 2. ℝₙ[x] = Polynome vom Grad ≤ n ist ein endlich-dimensionaler Unterraum.

3. Funktionen ℝ → ℝ

Die Menge aller Funktionen f: ℝ → ℝ. Addition: (f + g)(x) = f(x) + g(x). Skalarmal: (λf)(x) = λ·f(x). Spezialfälle: stetige Funktionen, differenzierbare Funktionen, Fourier-Reihen — alles Vektorräume.

4. Matrizen — ℝᵐˣⁿ

Die Menge aller m×n Matrizen mit komponentenweiser Addition. Selber wieder ein Vektorraum. Beispiel: 2×2 Matrizen bilden einen 4-dimensionalen Vektorraum (4 Einträge).

5. Komplexe Zahlen ℂ

Über ℝ gesehen: ein 2-dim. Vektorraum mit Basis 1 und i.

6. Lösungsmenge eines homogenen LGS

Die Menge aller x mit A·x = 0 ist ein Vektorraum (Unterraum von ℝⁿ). Den nennt man Kern von A.