Die 8 Axiome
Vektorraum-Axiome (über dem Körper K)
Eine Menge V mit + und · ist ein K-Vektorraum, falls für alle u, v, w ∈ V und λ, μ ∈ K gilt:
Axiome der Addition
| # | Axiom | Formel |
|---|---|---|
| A1 | Assoziativität | (u + v) + w = u + (v + w) |
| A2 | Kommutativität | u + v = v + u |
| A3 | Nullvektor existiert | ∃ 0 ∈ V : v + 0 = v |
| A4 | Inverses existiert | ∀v ∃(−v) : v + (−v) = 0 |
Axiome der Skalarmultiplikation
| # | Axiom | Formel |
|---|---|---|
| S1 | Distributivität (Vektor) | λ(u + v) = λu + λv |
| S2 | Distributivität (Skalar) | (λ + μ)v = λv + μv |
| S3 | Verträglichkeit | (λ·μ)v = λ(μv) |
| S4 | Eins-Element | 1 · v = v |
Folgerungen aus den AxiomenAus den 8 Axiomen folgt z.B.: 0 · v = 0 (Nullvektor), (−1) · v = −v, der Nullvektor ist eindeutig. Diese Konsequenzen muss man nicht extra fordern.