Was sind Eigenwerte?
Eine Matrix wirkt auf Vektoren — meist dreht und streckt sie. Aber für jede Matrix gibt es besondere Vektoren, die nicht gedreht, sondern nur gestreckt werden. Das sind die Eigenvektoren. Der Streckungsfaktor heißt Eigenwert. Ein zentrales Konzept!
Eigenwerte tauchen überall auf: PageRank von Google, Quantenmechanik (Energiezustände), PCA in Statistik, Schwingungsanalyse in der Physik, Stabilitätsanalyse in der Regelungstechnik. Wer Eigenwerte versteht, versteht das „intrinsische Verhalten" einer Matrix.
Eigenvektor in einem SatzEin Eigenvektor zeigt in eine besondere Richtung — eine, die unter der Matrix-Wirkung erhalten bleibt. Die Matrix wirkt entlang dieser Richtung wie eine einfache Skalierung mit dem Eigenwert.
Anschauliches Beispiel
Skalierungsmatrix S = ((2, 0), (0, 3)). Wirkt auf (1, 0): bleibt (2, 0) — Faktor 2. Wirkt auf (0, 1): bleibt (0, 3) — Faktor 3. Beide Standardvektoren sind Eigenvektoren! Eigenwerte: λ₁ = 2, λ₂ = 3.