Charakteristisches Polynom
Wie findet man die Eigenwerte einer beliebigen Matrix? Idee: A·v = λ·v ⇔ (A − λI)·v = 0. Damit es ein v ≠ 0 gibt, muss (A − λI) singulär sein, also det(A − λI) = 0. Das ist eine Polynomgleichung in λ — das charakteristische Polynom.
Charakteristisches Polynom
p_A(λ) = det(A − λI)Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms.
Beispiel · 2×2
Für A = ((a, b), (c, d)):
A − λI = ⎛ a−λ b ⎞
⎝ c d−λ ⎠
det = (a−λ)(d−λ) − bc
= λ² − (a+d)λ + (ad − bc)
= λ² − tr(A)·λ + det(A)
tr(A) = Spur (Summe der Diagonaleinträge), det(A) = Determinante.
Konkret · A = ((4, 2), (1, 3))
p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 5)(λ − 2). Eigenwerte: λ₁ = 5, λ₂ = 2.
Schöne BeziehungenSumme der Eigenwerte = Spur (tr A). Produkt der Eigenwerte = Determinante (det A). Funktioniert für n × n Matrizen. Schneller Konsistenz-Check!