Berechnen — Schritt für Schritt
Algorithmus
- Bilde A − λI.
- Berechne det(A − λI) = charakteristisches Polynom.
- Setze = 0 → Polynomgleichung. Löse für λ → Eigenwerte.
- Für jedes λᵢ: setze in (A − λᵢI)v = 0 ein, löse das LGS → Eigenvektoren.
Vollständiges Beispiel · A = ((3, 1), (0, 2))
Schritt 1+2: det(A − λI) = (3 − λ)(2 − λ) − 0 = (3 − λ)(2 − λ).
Schritt 3: Nullstellen sind λ₁ = 3, λ₂ = 2.
Eigenvektor zu λ₁ = 3
(A − 3I) = ((0, 1), (0, −1)). LGS: 0·x + 1·y = 0, 0·x − 1·y = 0 → y = 0, x frei. Eigenvektor: (1, 0).
Eigenvektor zu λ₂ = 2
(A − 2I) = ((1, 1), (0, 0)). LGS: x + y = 0 → y = −x. Eigenvektor: (1, −1).
Probe
A·(1, 0) = (3·1 + 1·0, 0·1 + 2·0) = (3, 0) = 3·(1, 0). ✓
A·(1, −1) = (3·1 + 1·(−1), 0·1 + 2·(−1)) = (2, −2) = 2·(1, −1). ✓
Komplexe EigenwerteManche Matrizen (z.B. Drehmatrizen) haben komplexe Eigenwerte. R(90°) = ((0, −1), (1, 0)) hat p(λ) = λ² + 1, Nullstellen ±i. Über ℝ: keine Eigenwerte. Über ℂ: i und −i.
Algebraische vs. Geometrische Vielfachheit
- Algebraisch: Vielfachheit von λ als Nullstelle des Polynoms.
- Geometrisch: dim(E_λ) = Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu λ.
- Es gilt immer: geometrisch ≤ algebraisch.