Praxis — PageRank & Klausur

Anwendung 1: Google PageRank

Das Internet ist eine riesige Matrix (Linkstruktur). Der PageRank-Vektor ist der dominante Eigenvektor (zum größten Eigenwert) dieser Matrix. Er gibt jeder Seite ein „Gewicht": je mehr Seiten auf sie zeigen, desto höher der Rang. Berechnet wird er iterativ (Power-Iteration) — er konvergiert gegen den Eigenvektor zum Eigenwert λ = 1.

Anwendung 2: Schwingungsanalyse

Eine Brücke schwingt — die Frequenzen sind durch Eigenwerte einer Steifigkeits-Matrix bestimmt. Resonanz tritt ein, wenn äußere Anregung mit einer Eigenfrequenz übereinstimmt. Daher analysiert man Eigenwerte vor dem Bau einer Brücke. Der Tacoma-Bridge-Kollaps 1940 war ein klassisches Eigenwert-Problem.

Aufgabe: Klausur-Klassiker

1. Bestimme die Eigenwerte von A = ((4, −1), (2, 1)).
   Lösung

   tr = 5, det = 4·1 − (−1)·2 = 6. p(λ) = λ² − 5λ + 6 = (λ−2)(λ−3). Eigenwerte: 2, 3.
2. Eigenwerte von A = ((1, 1), (1, 1)).
   Lösung

   tr = 2, det = 0. p(λ) = λ² − 2λ = λ(λ − 2). Eigenwerte: 0 und 2. (det = 0 ⇔ λ = 0 ist Eigenwert!)
3. Wie groß sind algebraische und geometrische Vielfachheit von λ = 1 bei A = ((1, 1), (0, 1))?
   Lösung

   p(λ) = (1 − λ)² → λ = 1 doppelt → alg. Viel. = 2. (A − I) = ((0, 1), (0, 0)). Kern: {(t, 0)} — 1-dim → geom. Viel. = 1. Nicht diagonalisierbar (1 = geom. < alg. = 2).
4. tr A = 5, det A = 6. Eigenwerte?
   Lösung

   λ₁ + λ₂ = 5, λ₁ · λ₂ = 6. Lösung: λ₁ = 2, λ₂ = 3. (Wie erste Aufgabe — geht ohne Char. Polynom!)

Geschafft! Im letzten Kurs „LinAlg 10 · SVD & Anwendungen"bringen wir alles zusammen: Singulärwertzerlegung — die mächtigste Matrixzerlegung der LinAlg, Grundlage von PCA, Bildkompression, Empfehlungssystemen.