Definition · A·v = λ·v
Eigenwert & Eigenvektor
Sei A eine quadratische Matrix. Ein Vektor v ≠ 0 heißt Eigenvektor, wenn ein Skalar λ existiert mit:
A · v = λ · vDas Skalar λ heißt zugehöriger Eigenwert.
Wichtig
- v = 0 ist per Definition nie Eigenvektor (würde sonst trivial passen).
- λ darf 0 sein (= ker A enthält dann nicht-triviale Vektoren).
- Wenn v Eigenvektor mit Eigenwert λ ist, dann auch jedes Vielfache c·v (c ≠ 0).
Eigenraum
Die Menge aller Eigenvektoren zu einem Eigenwert λ (plus 0):
E_λ = { v : A·v = λ·v } = ker(A − λI)Immer ein Unterraum. Seine Dimension heißt geometrische Vielfachheit.
Beispiel · 2×2 Diagonalmatrix
D = ((2, 0), (0, 5)). D·(1, 0) = (2, 0) = 2·(1, 0) → λ = 2, v = e₁.
D·(0, 1) = (0, 5) = 5·(0, 1) → λ = 5, v = e₂.
Diagonalmatrizen sind „einfach"Bei Diagonalmatrizen sind die Eigenwerte direkt die Diagonaleinträge, die Eigenvektoren sind die Standardbasis-Vektoren. Aufgabe gelöst, ohne zu rechnen.